Hjernejul 2015 - Lille nyttårsaften

Energy of Fractal Burst
Licensed from: agsandrew / yayimages.com

 

Jeg har alltid rensket blader, magasiner og aviser for sudoku, quizer og annen hjernetrim. Fra lillejulaften og frem til første nyttårsdag har jeg derfor tenkt å dele matte- og logikkoppgaver som du kan kose deg med i julen og romjulen. Hver dag vil du finne to oppgaver på bloggen, én lettere og én vanskeligere oppgave. Disse vil være hentet fra Abelkonkurransen eller fra Matematikk.org.

Alle oppgavene skal kunne løses med ungdomsskolematte. Oppgave 1 i dag ble gitt som gruble oppgave til en 7. klasse nå rett før jul. Oppgave 2 er en oppgave der du skal finne antall mulige måter å gå fra en by til en annen. Dette har du sikkert vært utsatt for på feire ved tidligere anledninger. Et løsningsforslag på oppgavene blir publisert dagen etter. Post gjerne svaret ditt i kommentarfeltet om du ønsker. Her er lillenyttårsaftenoppgavene:

Oppgave 1

Hvis det tar fem alver fem timer å grave fem hull, hvor mange alver trengs for å grave hundre hull på hundre timer?

 

Oppgave 2

Figuren under forestiller et gatenett mellom S og T i en by. Du er kun lov å gå i østlig eller sørlig retning når du skal bevege deg fra S til T. Hvor mange ulike antall veier kan du velge for å komme deg fra S til T er



 

Svaret kommer i morgen, Godt nytt år!

For flere oppgaver trykk her! 

Her er svaret på gårsdagens oppgaver!

 

Følg meg på instagram under Mattedama , facebook under Mattedama og på snap: vibekegf

28 kommentarer

Kalle Kanin

30.12.2015 kl.09:59

1: de samme 5 alver vil også bruke 100 timer på 100 hull. Svaret er 5.

2: 6X4=24 måter å komme fra by til by på.

Anders Abrahamsen

30.12.2015 kl.10:08

1. 5 alver vil lage like mange hull på like mange timer, altså er svaret 5.

2. Dette ser veldig ut som en variant av Pascals trekant, i så fall er svaret der 5 møter 7 (kryss 5 og 7 i trekanten), altså 210.

Arsenal

30.12.2015 kl.10:22

1: De samme 5 alvenene klarer også 100 hull på 100 timer når de klarer 5 hull på 5 timer :)

2. Det finnes 56 måter å komme til målet på. Begynn ved destinasjonen. Angi hvor mange måter det er mulig å komme seg videre på i hver rute. Start med 0 ved destinasjonen og 1 ved alle ruter som ligger mot "veggen". Tallet ved de øvrige rutene finner man ved å addere tallet i ruten øst og tallet i ruten sør.

Øistein Olsen

30.12.2015 kl.11:35

1: Regn ut gravehastigheten pr alv> 1/5.

Ant_alver * 1/5 * 100 = 100 gir Ant_alver=5

2: Uansett vei må man flytte 8 flytt.

Hvert steg genererer 2 nye muligheter.

Dvs 8 opphøyet i 2 > 8*8=64.

Geir Asphaug

30.12.2015 kl.11:52

1: 5 alver vil da også grave 100 hull på 100 timer. Men jeg forutsetter da effektiv arbeidstid, for jeg vil tro at selv en alv blir både sliten og sulten av å grave så mange hull.

2: Antall mulige veier for å komme til punkt (x,y) må være summen av veiene til punkt (x-1,y) og punkt (x,y-1). Det vil si at vi har mønsteret til Pascals trekant, som Anders Abrahamsen nevner. Hvis startpunktet er toppen i trekanten, ligger endepunktet på radnummer 10, posisjon 6. Ved å bruke formelen for binomialkoeffisienten får vi 10!/6!*(10-6)! = 210. Eller man kan addere seg fram til man når endepunktet. Endepunktet 210 er summen av nord og vest, som er 84 og 126.

tomm1st

30.12.2015 kl.11:56

#1: 5

Hver alv graver med en hastighet på en femtedels (1/5) hull pr. time. En alv vil derfor i løpet av hundre timer ha gravet tyve hull (100 * 1/5 = 20). Antallet som trengs for å grave hundre hull i løpet av den tiden er derfor fem (5).

#2: 210

Man må gå 6 ganger østover og 4 ganger sørover. Det må derfor regnes ut på hvor mange måter de fire gangene en går sørover kan plasseres mellom de seks gangene en går østover.

4 : 7

3,1 : 7 * 6 = 42

2,2 : (7 * 6) / 2 = 21

2,1,1 : (7 * 6 * 5) / 2 = 105

1,1,1,1 : (7 * 6 * 5 * 4) / (4 * 3 * 2) = 35

Samlet: 210

Frode Halvoren

30.12.2015 kl.12:15

Når de samme 5 alvene får 20 ganger så lang tid på seg, så klarer de også å grave 20 ganger så mange hull :)

Etter å ha summert på samme måte som med trekantene tidligere i uken, fikk jeg 210, men ser at Anders hadde en enklere måte å finne den ut på (om du har en ferdig regnet pyramide med minst 11 "etasjer") :)

Arsenal

30.12.2015 kl.12:53

Her ser jeg flere har konkludert med 210 som riktig svar i oppgave 2. Er enig i man kan betrakte veinettet som pascals trekant. Men behøver man å gå så langt ned i trekanten? Jeg stopper fortsatt på 56!!

Kalkulatoren

30.12.2015 kl.12:56

Oppgave 1: Svar: 5 alver

Oppgave 2: Svar: 8 ulike antall veier.

Forklaring: Her må man granske oppgaveteksten nøye. Her er det snakk om ulike antall veier, og ikke antall kombinasjoner av veier som noen tilsynelatende har forledet seg selv til å tro ved å lete opp 210 i Pascals trekant.

Mimimum antall veier er 2, og maksimum antall veier er 9 (du får med 1 vei mer ved å gå østover først), dermed er antall ulike veier man kan benytte 8.

a k j

30.12.2015 kl.13:30

1 alv selvsagt

Geir Asphaug

30.12.2015 kl.13:52

Arsenal, radnummer og posisjon i Pascals trekant starter nummerering på 0.

Men man kan regne dette selv også, dvs. plassere 1'ere i nord og vest og så addere mulighetene suksessivt nedover i veikryssene. Antall muligheter i ett kryss er summen av mulighetene i kryssene i nord og i vest. Da havner vi på 210 muligheter i krysset nederst til høyre, i kryss(7,5).

Kudos til Mattedama for morsom oppgave, håper jeg ikke har tenkt helt feil her :-)

Arsenal

30.12.2015 kl.14:11

Geir Asphaug, jeg gikk fram nettopp på tilsvarende måte du beskriver. (Kom aldri på pascals trekant før noen nevnte den her). Nå skjønner jeg hvordan dere har kommet frem til 210. Min vei gikk nemlig fra en firkant til neste firkant, men nå skjønner jeg at man skal gå fra et hjørne til neste hjørne. Da blir veien litt lengre, ja! :)

Ole Pettersen

30.12.2015 kl.14:14

1)

100 alver.

Riktignok tar det kortere tid, noe som bør være positivt for oppdragsgiveren.

2)

1 vei. Det er ikke noe vits i å drive å gå frem og tilbake for å finne ut av det. Bortkastet tid. Skal man til T så må man uansett gå 6 steg østover og 4 steg sørover. Case Solved.

Ser frem til vanskeligere oppgaver i morgen.

Sveinung

30.12.2015 kl.14:15

Oppgave 1:

Fem alver graver tilsammen 1 hull i timen (5 hull/5timer=1hull/t). Da klarer de samme fem å grave 100 hull på hundre timer (effektiv tid, gitt at de får ta seg noen pauser som ikke innberegnes i tiden).

Oppgave 2:

tomm1st har en fin tilnærming til problemet, men forklaringen blir noe rotete (etter min forståelse). Det skal gås 10 (4 sør + 6 øst) delstrekninger. Det dreier seg altså om å finne ut for hvor mange ulike kombinasjoner vi kan plassere de 4 sørlige delstrekningene ut av de totalt 10 delstrekningene.

(Evt 6 østlige av de 10 totalt). Ettersom vi ikke skal finne ut rekkefølgen innbyrdes på de sørlig (evt østlige) delstrekkene, er det kombinasjoner vi skal frem til og ikke permutasjoner. Dette kan sammenlignes med uttrekk av lottokuler, det er likegyldig hvilken rekkefølge kulene trekkes i, det er settet med de 7 (av 34) som er relevant.

Det finnes en egen formel for å finne antall kombinasjoner og den er uttrykt som følger:

C(n,k)= n!/(k!*(n-k)!), der n er totalmengden og k er mengden som trekkes ut. Utropstegnet betyr fakultet og er en forkortet måte å skrive at alle heltall fra og med 1 til og med n skal ganges med hverandre. 3! = 3*2*1.

I vårt tilfelle blir det derfor:

C(n,k)=C(10,4)=10!/(4!*(10-4)!)=10!/(4!*6!)=10*9*8*7/(4*3*2*1) = 10*3*7=210.

Dersom man heller vil finne de 6 østgående ut av de 10, får man samme svar: C(10,6)=10!/(6!*(10-6)!)=10!/(6!*4!)=210.

Svaret er altså 210.

(For de interesserte; Antall mulige kombinasjoner i lotto er dermed C(34,7)= 34!/(7!'(34-7)!)=34!/(7!'27!)= (34*33*32*31*30*29*28)/(7*6*5*4*3*2*1)=17*11*32*31*1*29*1 (forkortninger: 34/2=17;33/3=11;28/(4*7)=1;30/(5*6)=1)

=17*11*32*31*29=5.379.616)

Tom Sing

30.12.2015 kl.15:43

Når 1 alv graver 1 hull på 1 time, så kan denne ene også grave 100 hull på 100 timer. Svaret er 1 alv.

Torbjørn

30.12.2015 kl.16:23

1) 5 alver

2) 58 mulige veier (sum av mulige veier i hvert punkt)

kjetel

30.12.2015 kl.17:39

1) 1 alve 2) 105 mulige veger. Man kan bare gå østlig og sørlig retning.

Sverre

30.12.2015 kl.18:53

n! / (n-k)!

Øistein Olsen

30.12.2015 kl.19:40

Jeg var på bærtur tidligere. Etter å ha fundert ser det ut for meg som om Arsenal hadde rett. 56 unike veier er mulige...

Uavhengig av rutenett:

56 - 35 - 20 - 10 - 04 - 01

21 - 15 - 10 - 06 - 03 - 01

06 - 05 - 04 - 03 - 02 - 01

01 - 01 - 01 - 01 - 01 - 01

Og utvidet

30.12.2015 kl.22:08

210-126- 70 - 35 - 15 - 05 - 01

84 - 56 - 35 - 20 - 10 - 04 - 01

28 - 21 - 15 - 10 - 06 - 03 - 01

07 - 06 - 05 - 04 - 03 - 02 - 01

01 - 01 - 01 - 01 - 01 - 01 - 01

sjarlatan

30.12.2015 kl.22:58

2) La 0 bety at vi går ett steg sørover, og la 1 bety at vi går ett steg østover. I en streng på 10 tall må vi altså velge ut fire 0-er og seks 1-ere. (f.eks. vil strengen 0000111111 symbolisere at vi først går fire steg sørover, og deretter seks steg østover). Dette er ekvivalent med å velge ut 4 av 10 der rekkefølgen ikke har betydning, altså blir svaret gitt av binomialkoeffisienten nCr=10C4=10!/(4!6!)=210

For øvrig fin blogg!

Thor Hagen

31.12.2015 kl.00:21

Hei Vibeke :-)

Du trenger 1 stk alv!

Tony

31.12.2015 kl.00:45

Oppgave 1: 1 Alv - Oppgave 2: 22 veier.

Frode Halvoren

31.12.2015 kl.01:07

Kalkulatoren :

"Her er det snakk om 'ulike antall veier'"

Jeg vil anta at det er skrivefeil for "antall ulike veier"...

Og med "antall ulike veier" så menes det antall måter du kan kombinere de 6 stegene østover og de 4 sydover på...

Kjetil

31.12.2015 kl.04:21

Helt utrolig at så mange dumme mennesker tør å svare når dere åpenbart knapt nok har IQ nok til å åpne en dør.

Dere som har svart 1 alv på spørsmål nummer 1, må være mennesker som ikke har fullført videregående. Maken til tomskaller. Overlat disse spørsmålene til folk som vet hva de driver med.

1: 5 alver.

2: 210 mulige veier.

Nissemann

31.12.2015 kl.04:42

Mulig jeg er helt på jordet her, men hvis det tar 5 alver 5 timer å grave 5 hull så betyr vel det at det tar 1 alv 1 time å grave 1 hull?

Så 1 alv vil kunne grave 100 hull på 100 timer.. eller?

Marius

31.12.2015 kl.07:45

Én alv bruker da fortsatt 5 timer? De graver jo ikke i stafett. Dersom det tar 5 alver 5 timer å grave 5 hull så indikerer det at antallet alver er likegyldig, 10 alver vil bruke 5 timer på å grave 10 hull osv.

Sunny Jim

31.12.2015 kl.11:35

Antall alver: 5

Antall veier: 91

(1?2 + 2?2 + 3?2 + 4?2 + 5?2 + 6?2) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

YNWA!

Skriv en ny kommentar

hits